1.时间更新
离散情况：
\[
p(y)=\sum_{x}^{}\left[p(y|x)p(x)\right]
\]
连续情况：
\[
p(y)=\int_{-\infty}^{\infty}p(y|x)p(x)\mathrm{d}x
\]
2.量测更新
离散情况：
\[
p(x_{i}|y)=\frac{p(y|x_{i})p(x_{i})}{\sum_{j}^{}\left [ p(y|x_{j})p(x_{j}) \right ] } =\frac{p(y|x_{i})p(x_{i})}{p(y)}
\]
连续情况：
\[
p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{\int_{-\infty}^{\infty}p(y|x)p(x)\mathrm{d}x}=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}
\]
3.具体的卡尔曼滤波推导

\[
先验=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi Q}} exp\left [ -\frac{(x-Fs)^2}{2Q} \right ] \frac{1}{\sqrt{2\pi P}} exp\left [ -\frac{(s-\bar{x})^2 }{2P} \right ]\mathrm{d}s
\]

上式中的\({\bar{x}}\)表示上一时刻的后验均值，\({P}\)表示上一时刻的后验协方差。

\[
后验=\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi R}} exp\left [ -\frac{(y-Hx)^2}{2R} \right ] \frac{1}{\sqrt{2\pi P’}} exp\left [ -\frac{(x-\bar{x}’)^2 }{2P’} \right ]}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi R}} exp\left [ -\frac{(y-Hs)^2}{2R} \right ] \frac{1}{\sqrt{2\pi P’}} exp\left [ -\frac{(s-\bar{x}’)^2 }{2P’} \right ]\mathrm{d}s}
\]

上式中的\({\bar{x}’}\)表示当前时刻的先验均值，\({P’}\)表示当前时刻的先验协方差。