递推最小二乘法（Recursive Least Squares，简称RLS）是一种经典的参数估计方法，广泛应用于信号处理、通信系统、自适应滤波、控制系统等领域。它通过不断迭代更新参数，逐步逼近最优解，具有快速收敛、适应性强的特点。以下是对递推最小二乘法的详细说明：
一、基本原理
递推最小二乘法是在最小二乘法的基础上发展而来的一种在线参数估计方法。最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。然而，在实际应用中，数据通常是逐步到来的，因此需要一种能够动态更新参数的方法，于是递推最小二乘法应运而生。
递推最小二乘法的基本原理是利用递推的方式不断更新参数，以逼近最优解。在每一时刻，根据当前的观测数据和先前的参数估计，通过递推公式计算出新的参数估计值，从而实现参数的动态更新。这样的方法不仅能够适应数据的动态变化，还能够实现快速的收敛，适用于实时系统和非平稳环境下的参数估计。
二、核心思想
递推最小二乘法的核心思想在于通过递推的方式实时地更新参数估计值。它使用一种迭代计算的方法，用新的样本点替换旧的样本点，以不断更新拟合函数参数。此外，递推最小二乘法还可以利用状态空间表示来改进拟合性能，尤其是在模型存在时滞性和高阶非线性性质时，能更好地拟合函数从而获得更详细的函数图形。
三、递推公式
设定量测方程为形式如\(Y=HX\),其中\(X\)为我们要估计的一个定值,是一个\(m \times 1\),\(H\)为量测矩阵，其维度为\(n \times m\),\(Y\)为一个测量值其维度为\(n \times 1\)。假设我们总共测量了\(k\)次。选择如下代价函数：
\[J=\sum_{i=1}^{k}[\lambda ^{k-i}(Y_i-H_iX)^T(Y_i-H_iX)]
\]
其中\(\lambda\)为遗忘因子。递推最小二乘方法如下：
1.初始化，选定一个可以解的阶数\(s\)，使用加权最小二乘法
\hat{X} _s=(\sum_{i=1}^{s}\lambda ^{s-i}H^T_iH_i )^{-1}(\sum_{i=1}^{s}\lambda ^{s-i}H^T_iY_i ) \\
P_s=(\sum_{i=1}^{s}\lambda ^{s-i}H^T_iH_i )^{-1}
\]
2.使用递推最小二乘法
\[K=P_sH_{s+1}^T(\lambda E + H_{s+1}P_sH_{s+1}^T)^{-1} \\
\hat{X} _{s+1}=\hat{X} _s+K(Y_{s+1}-H_{s+1}\hat{X}_s) \\
P_{s+1}=\lambda ^{-1}(E-KH_{s+1})P_{s}
\]
四、特点与优势
- 实时性：递推最小二乘法能够实时地更新参数估计值，适用于需要快速响应和动态调整的系统。
- 计算效率高：与传统的批量最小二乘法相比，递推最小二乘法不需要重新计算整个数据集，从而降低了计算复杂度。
- 适应性强：通过引入遗忘因子等技术手段，递推最小二乘法可以适应系统参数的非平稳变化。
- 鲁棒性：递推最小二乘法对噪声和数据中的异常值具有一定的鲁棒性。
五、应用实例
递推最小二乘法在多个领域都有广泛的应用。例如，在自适应滤波中，递推最小二乘法可以根据接收信号的实际情况，动态调整滤波器的参数，实现信号的实时去噪和增强。在通信系统中，递推最小二乘法可以用于自适应调制解调器的设计，提高系统的抗干扰能力和适应性。此外，递推最小二乘法还被广泛应用于雷达跟踪、无线定位、控制系统参数辨识等领域。
六、注意事项
- 模型假设：递推最小二乘法要求模型是线性的或可以通过线性化近似处理。对于非线性模型，需要采用其他方法或进行线性化处理。
- 收敛性：递推最小二乘法的收敛性受多种因素影响，如遗忘因子的选择、初始参数的设置等。在实际应用中，需要根据具体情况进行调整以确保算法的收敛性。
- 数据预处理：为了提高递推最小二乘法的性能，通常需要对输入数据进行预处理，如去噪、滤波、标准化等。